17. Треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника; расстояние от точки М до прямой АВ равно 5 см. Найдите длину отрезка СМ.

Треугольник ABC - прямоугольный и равнобедренный с прямым углом C и гипотенузой 6 см.

Т.к. треугольник равнобедренный, то AC = BC. По теореме Пифагора:

$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$

$$2AC^2 = 6^2$$

$$AC^2 = 18$$

$$AC = BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ см.

Т.к. треугольник равнобедренный, то CM - медиана, высота и биссектриса.

CM = 1/2 AB = 1/2 * 6 = 3 см.

Расстояние от точки M до прямой AB равно 5 см.

Отрезок MD перпендикулярен прямой AB, MD = 5 см.

Отрезок CM перпендикулярен плоскости треугольника ABC.

Тогда треугольник CMD - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$$CD^2 = CM^2 + MD^2$$

$$CD = \sqrt{CM^2 + MD^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$$ см.

Ответ: Длина отрезка CM = $$ \sqrt{34}$$ см.