13) Решить задачу: Катер прошёл 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 1 час 30 мин. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Пусть собственная скорость катера x км/ч. Скорость катера по течению: (x + 2) км/ч. Скорость катера против течения: (x - 2) км/ч. Время, затраченное на путь по течению: \(\frac{30}{x+2}\). Время, затраченное на путь против течения: \(\frac{13}{x-2}\). Общее время: 1 час 30 мин = 1,5 часа. Составим уравнение: \(\frac{30}{x+2} + \frac{13}{x-2} = 1,5\). Приведем к общему знаменателю: \(\frac{30(x-2) + 13(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 1,5\). \(\frac{30x - 60 + 13x + 26}{x^2 - 4} = 1,5\). \(\frac{43x - 34}{x^2 - 4} = 1,5\). \(43x - 34 = 1,5(x^2 - 4)\). \(43x - 34 = 1,5x^2 - 6\). \(1,5x^2 - 43x + 28 = 0\). Умножим на 2: \(3x^2 - 86x + 56 = 0\). D = (-86)^2 - 4 * 3 * 56 = 7396 - 672 = 6724. x₁ = (86 + √6724) / (2 * 3) = (86 + 82) / 6 = 168 / 6 = 28. x₂ = (86 - √6724) / (2 * 3) = (86 - 82) / 6 = 4 / 6 = \(\frac{2}{3}\) (не подходит, так как скорость против течения будет отрицательной). Ответ: Собственная скорость катера 28 км/ч.