7) Решите неравенство: 1 + ctg(3x) ≤ 0

Решим неравенство $$1 + \operatorname{ctg}(3x) \leq 0$$:

$$\operatorname{ctg}(3x) \leq -1$$

Функция котангенс определена как $$\operatorname{ctg}(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$$.

Решение неравенства $$\operatorname{ctg}(3x) \leq -1$$ находится в интервалах, где котангенс меньше или равен -1.

$$3x \in (\frac{3\pi}{4} + \pi n; \pi + \pi n)$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.

$$x \in (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{3})$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.

Ответ: $$x \in (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{3}; \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z}$$.