6) Решите уравнение: ln(x² - 8x + 16) = ln2 + ln(x + 4)

Дано уравнение: $$\ln(x^2 - 8x + 16) = \ln 2 + \ln(x + 4)$$.

Сначала упростим уравнение, используя свойства логарифмов:

$$\ln(x^2 - 8x + 16) = \ln(2(x + 4))$$

Поскольку $$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$$, уравнение можно записать как:

$$\ln((x - 4)^2) = \ln(2(x + 4))$$

Теперь избавимся от логарифмов:

$$(x - 4)^2 = 2(x + 4)$$

$$x^2 - 8x + 16 = 2x + 8$$

$$x^2 - 10x + 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 5 \pm \sqrt{17}$$

Теперь проверим область определения логарифмов:

$$x^2 - 8x + 16 > 0$$

$$(x - 4)^2 > 0$$

Это выполняется для всех x, кроме x = 4.

$$x + 4 > 0$$

$$x > -4$$

Проверим найденные корни:

$$x_1 = 5 + \sqrt{17} \approx 5 + 4.12 = 9.12 > -4$$

$$x_2 = 5 - \sqrt{17} \approx 5 - 4.12 = 0.88 > -4$$

Оба корня удовлетворяют условию $$x > -4$$, и не равны 4.

Ответ: $$x = 5 + \sqrt{17}, x = 5 - \sqrt{17}$$.