Решите неравенство $$\frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9} \leq 0$$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите неравенство $\frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9} \leq 0$.$ Фото задания

Решите неравенство $$\frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9} \leq 0$$.

Accepted Answer

Решение:

Для решения неравенства методом интервалов, сначала найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя:

$ (x + 4)^2 = 0 $

$ x + 4 = 0 $

$ x = -4 $. Этот корень имеет кратность 2 (так как выражение в квадрате).

2. Корни знаменателя:

$ x^2 - 9 = 0 $

$ x^2 = 9 $

$ x = \pm 3 $.

Знаменатель обращается в ноль при $ x = 3 $ и $ x = -3 $. Эти значения не входят в область допустимых значений (ОДЗ), так как на ноль делить нельзя.

3. Нанесём корни на числовую прямую и определим знаки на интервалах:

Корни: -4 (кратность 2), -3 (кратность 1), 3 (кратность 1).

Расставим их на числовой прямой:

---|-------|-------|-------|---

-4 -3 3

(x+4)^2 (x-3) (x+3)

Учитываем знаки каждого множителя:

$ (x+4)^2 $ всегда $ \geq 0 $.
$ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) $.

Рассмотрим интервалы:

$ x > 3 $: $ (x+4)^2 > 0 $, $ x-3 > 0 $, $ x+3 > 0 $. Дробь: $ \frac{+}{+ \cdot +} = + $.
$ -3 < x < 3 $: $ (x+4)^2 > 0 $, $ x-3 < 0 $, $ x+3 > 0 $. Дробь: $ \frac{+}{- \cdot +} = - $.
$ -4 < x < -3 $: $ (x+4)^2 > 0 $, $ x-3 < 0 $, $ x+3 > 0 $. Дробь: $ \frac{+}{- \cdot +} = - $.
$ x < -4 $: $ (x+4)^2 > 0 $, $ x-3 < 0 $, $ x+3 < 0 $. Дробь: $ \frac{+}{- \cdot -} = + $.

4. Учтём кратность корня $ x = -4 $.

При переходе через корень чётной кратности знак интервала не меняется. При переходе через корень нечётной кратности знак меняется.

Так как $ (x+4)^2 $ всегда $ \geq 0 $, знак всей дроби определяется знаком $ x^2 - 9 $ (для $ x \neq -4 $).

$ \frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9} \leq 0 $

Это неравенство выполняется, когда $ x^2 - 9 < 0 $ (так как $ (x+4)^2 $ может быть равно 0).

$ x^2 < 9 $

$ -3 < x < 3 $.

Также нужно учесть, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. $ (x+4)^2 = 0 $ при $ x = -4 $. Знаменатель при $ x = -4 $ равен $ (-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7 $, что не равно нулю.

Значит, $ x = -4 $ также является решением.

Объединяем интервалы, где дробь отрицательна, и точку, где она равна нулю:

$ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.

Интервал $ -3 < x < 3 $ делает дробь отрицательной.

Точка $ x = -4 $ делает дробь равной нулю.

Итак, решение: $ x = -4 $ или $ -3 < x < 3 $.

Ответ: $$x = -4$$ или $$-3 < x < 3$$.