3.Решите систему уравнений: a) x² + y² = 45 xy = 18

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 45 \\ xy = 18 \end{cases}$$

Выразим y через x из второго уравнения: $$y = \frac{18}{x}$$. Подставим в первое уравнение:

$$x^2 + \left(\frac{18}{x}\right)^2 = 45$$

$$x^2 + \frac{324}{x^2} = 45$$

$$x^4 + 324 = 45x^2$$

$$x^4 - 45x^2 + 324 = 0$$

Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 45t + 324 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 324 = 2025 - 1296 = 729$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 + \sqrt{729}}{2} = \frac{45 + 27}{2} = \frac{72}{2} = 36$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{45 - \sqrt{729}}{2} = \frac{45 - 27}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Тогда:

1) $$x^2 = 36 \Rightarrow x_1 = 6, x_2 = -6$$

$$y_1 = \frac{18}{6} = 3, y_2 = \frac{18}{-6} = -3$$

2) $$x^2 = 9 \Rightarrow x_3 = 3, x_4 = -3$$

$$y_3 = \frac{18}{3} = 6, y_4 = \frac{18}{-3} = -6$$

Ответ: (6; 3), (-6; -3), (3; 6), (-3; -6)