Решите уравнение: 6 / x²+x - 10 / x²-1 = 8

Решение:

1. Шаг 1: Разложим знаменатели на множители.
   \( x^2+x = x(x+1) \)
   \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \)
2. Шаг 2: Приведем уравнение к общему знаменателю \( x(x-1)(x+1) \).
   \( rac{6(x-1)}{x(x+1)(x-1)} - rac{10x}{x(x+1)(x-1)} = 8 \)
   \( rac{6x-6-10x}{x(x-1)(x+1)} = 8 \)
   \( rac{-4x-6}{x(x^2-1)} = 8 \)
3. Шаг 3: Умножим обе части на \( x(x^2-1) \), предполагая \( x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ -1 \).
   \( -4x - 6 = 8x(x^2-1) \)
   \( -4x - 6 = 8x^3 - 8x \)
4. Шаг 4: Перенесем все в одну сторону.
   \( 8x^3 - 8x + 4x + 6 = 0 \)
   \( 8x^3 - 4x + 6 = 0 \)
5. Шаг 5: Разделим на 2.
   \( 4x^3 - 2x + 3 = 0 \)
6. Шаг 6: Это кубическое уравнение. Попробуем найти рациональные корни вида \( p/q \), где \( p \) — делитель 3 (±1, ±3), а \( q \) — делитель 4 (±1, ±2, ±4).
   Возможные корни: ±1, ±3, ±1/2, ±3/2, ±1/4, ±3/4.
   Проверим \( x = -3/2 \):
   \( 4(-rac{3}{2})^3 - 2(-rac{3}{2}) + 3 = 4(-rac{27}{8}) + 3 + 3 = -rac{27}{2} + 6 = -rac{27}{2} + rac{12}{2} = -rac{15}{2} ≠ 0 \)
   Проверим \( x = -1 \):
   \( 4(-1)^3 - 2(-1) + 3 = -4 + 2 + 3 = 1 ≠ 0 \)
   Проверим \( x = 1 \):
   \( 4(1)^3 - 2(1) + 3 = 4 - 2 + 3 = 5 ≠ 0 \)
   Данное уравнение не имеет простых рациональных корней, и решение требует более сложных методов или численного подхода. В рамках школьной программы такое уравнение, вероятно, не предполагается к решению аналитически.

Ответ: Решение данного кубического уравнения не сводится к простым рациональным корням и требует численных методов или специальных формул.