Решите уравнение: x-2 / x+3 = 4x-1 / 4x+1

Решение:

1. Шаг 1: Перенесем все члены уравнения в левую часть.
   \( rac{x-2}{x+3} - rac{4x-1}{4x+1} = 0 \)
2. Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю \( (x+3)(4x+1) \).
   \( rac{(x-2)(4x+1) - (4x-1)(x+3)}{(x+3)(4x+1)} = 0 \)
3. Шаг 3: Раскроем скобки в числителе.
   \( (x-2)(4x+1) = 4x^2 + x - 8x - 2 = 4x^2 - 7x - 2 \)
   \( (4x-1)(x+3) = 4x^2 + 12x - x - 3 = 4x^2 + 11x - 3 \)
4. Шаг 4: Подставим обратно в числитель и упростим.
   \( (4x^2 - 7x - 2) - (4x^2 + 11x - 3) = 4x^2 - 7x - 2 - 4x^2 - 11x + 3 = -18x + 1 \)
5. Шаг 5: Получаем уравнение \( rac{-18x+1}{(x+3)(4x+1)} = 0 \). Приравняем числитель к нулю.
   \( -18x + 1 = 0 \)
   \( -18x = -1 \)
   \( x = rac{-1}{-18} = rac{1}{18} \)
6. Шаг 6: Проверим, не обращают ли найденные значения x знаменатель в ноль.
   Знаменатель равен нулю при \( x = -3 \) и \( x = -1/4 \).
   \( x = 1/18 \) не равно ни -3, ни -1/4.

Ответ: \( x = rac{1}{18} \)