581. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: a) x² – 2x – 9 = 0; б) 3x² – 4x – 4 = 0;

Теорема Виета гласит, что для квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$ сумма корней равна $$\frac{-b}{a}$$, а произведение корней равно $$\frac{c}{a}$$. a) $$x^2 - 2x - 9 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$$ $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{40}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10}$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{40}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10}$$ Проверка по теореме Виета: $$x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{10}) + (1 - \sqrt{10}) = 2 = -\frac{-2}{1}$$ $$x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{10})(1 - \sqrt{10}) = 1 - 10 = -9 = \frac{-9}{1}$$ б) $$3x^2 - 4x - 4 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$$ $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$ Проверка по теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 2 + (- \frac{2}{3}) = \frac{6 - 2}{3} = \frac{4}{3} = -\frac{-4}{3}$$ $$x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (- \frac{2}{3}) = -\frac{4}{3} = \frac{-4}{3}$$ Ответ: a) $$x_1 = 1 + \sqrt{10}$$, $$x_2 = 1 - \sqrt{10}$$; б) $$x_1 = 2$$, $$x_2 = -\frac{2}{3}$$