10. Решите уравнение x(x + 1)(x + 2)(х+3) = 24, используя метод замены переменной.

Решим уравнение $$x(x+1)(x+2)(x+3)=24$$, используя метод замены переменной.

Перегруппируем множители: $$[x(x+3)][(x+1)(x+2)] = 24$$

Упростим: $$(x^2+3x)(x^2+3x+2) = 24$$

Сделаем замену $$t = x^2 + 3x$$, тогда уравнение примет вид: $$t(t+2) = 24$$

$$t^2 + 2t - 24 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$

$$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Вернемся к переменной x: $$x^2+3x = 4 \Rightarrow x^2+3x-4 = 0$$

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

$$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

$$x^2+3x = -6 \Rightarrow x^2+3x+6 = 0$$

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$$

Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: -4; 1