603. Решите уравнение: a) 3x + 1 x-1 x+2 - x-2 = 1;

Решим уравнение:

$$ \frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1 $$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 1 $$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$$(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2) = (x+2)(x-2)$$

Раскроем скобки:

$$3x^2 - 6x + x - 2 - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4$$

$$3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4$$

$$2x^2 - 6x = x^2 - 4$$

Перенесём все члены уравнения в левую часть:

$$2x^2 - 6x - x^2 + 4 = 0$$

$$x^2 - 6x + 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{20}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{20}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5}$$

Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при найденных значениях x:

$$x+2
eq 0 \Rightarrow x
eq -2$$

$$x-2
eq 0 \Rightarrow x
eq 2$$

Оба корня не равны \pm 2, следовательно, оба являются решениями.

Ответ: $$x_1 = 3 + \sqrt{5}$$, $$x_2 = 3 - \sqrt{5}$$