14. Решите уравнение log3(x - 2) + log3(x + 2) = log3 (2x - 1)

Решим уравнение: log₃(x - 2) + log₃(x + 2) = log₃(2x - 1)

Используем свойство логарифмов: logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c)

log₃((x - 2)(x + 2)) = log₃(2x - 1)

Так как логарифмы по основанию 3 равны, то аргументы должны быть равны:

(x - 2)(x + 2) = 2x - 1

x^2 - 4 = 2x - 1

x^2 - 2x - 3 = 0

Решим квадратное уравнение: x^2 - 2x - 3 = 0

D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

x₁ = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3

x₂ = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Проверим:

При x = 3: log₃(3 - 2) + log₃(3 + 2) = log₃(1) + log₃(5) = 0 + log₃(5) = log₃(5)

log₃(2 * 3 - 1) = log₃(6 - 1) = log₃(5)

Следовательно, x = 3 (верно)

При x = -1: log₃(-1 - 2) + log₃(-1 + 2) = log₃(-3) + log₃(1) (не имеет смысла, так как аргумент логарифма должен быть положительным)

log₃(2 * (-1) - 1) = log₃(-2 - 1) = log₃(-3) (не имеет смысла, так как аргумент логарифма должен быть положительным)

Следовательно, x = -1 не является решением

Ответ: 3