8. Решите уравнение (x+1)(x+3)(x+5)(х+7)=9, используя метод замены переменной.

Решим уравнение $$(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=9$$, используя метод замены переменной.

Сгруппируем множители: $$((x+1)(x+7))((x+3)(x+5))=9$$

Упростим: $$(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)=9$$

Сделаем замену: $$y = x^2+8x$$, тогда уравнение примет вид $$(y+7)(y+15)=9$$

$$y^2+22y+105=9$$

$$y^2+22y+96=0$$

Найдем дискриминант: $$D = (22)^2 - 4\cdot1\cdot96 = 484 - 384 = 100$$.

Найдем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 + \sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{-22 + 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 - \sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{-22 - 10}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$

Вернемся к переменной $$x$$:

1) $$x^2+8x = -6$$, $$x^2+8x+6 = 0$$, $$D = 8^2 - 4\cdot1\cdot6 = 64 - 24 = 40$$, $$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -4 \pm \sqrt{10}$$

2) $$x^2+8x = -16$$, $$x^2+8x+16 = 0$$, $$(x+4)^2 = 0$$, $$x = -4$$

Ответ: $$x_1 = -4 + \sqrt{10}$$, $$x_2 = -4 - \sqrt{10}$$, $$x_3 = -4$$