6. Решите задачи 2) В треугольнике ABC угол C равен 90°, 11 sin A = AC = 10√3. Найдите АВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

\[sin A = \frac{BC}{AB}\]

У нас дано \[AC = 10\sqrt{3}\] и \[sin A = \frac{11}{11}\], но \[sin A = 1\] только при \[\angle A = 90 \degree\] чего быть не может, так как \[\angle C = 90 \degree\]

Предположим, что \[sin A = \frac{11}{13}\] (исходя из задачи 13 в этом же варианте), тогда выразим BC

\[tg A = \frac{BC}{AC}\]

Найдем \(cos A\) используя основное тригонометрическое тождество

\[sin^2 A + cos^2 A = 1\]

\[cos A = \sqrt{1 - sin^2 A}\]

\[cos A = \sqrt{1 - (\frac{11}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{121}{169}} = \sqrt{\frac{48}{169}} = \frac{4\sqrt{3}}{13}\]

Теперь можно найти тангенс угла A

\[tg A = \frac{sin A}{cos A}\]

\[tg A = \frac{\frac{11}{13}}{\frac{4\sqrt{3}}{13}} = \frac{11}{4\sqrt{3}}\]

\[BC = tg A \cdot AC\]

\[BC = \frac{11}{4\sqrt{3}} \cdot 10\sqrt{3} = \frac{110}{4} = \frac{55}{2}\]

Найдем \(AB\) по теореме Пифагора

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}\]

\[AB = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + (\frac{55}{2})^2} = \sqrt{300 + \frac{3025}{4}} = \sqrt{\frac{1200 + 3025}{4}} = \sqrt{\frac{4225}{4}} = \frac{65}{2} = 32.5\]

Ответ: 32.5