7) В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 4√15, cos A = 0, 25. Найдите высоту СН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \[ABC\] высота \[CH\] , опущенная из прямого угла, может быть найдена через площадь треугольника \[ABC\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\]

И также площадь можно найти через катеты:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\]

Тогда:

\[\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\]

\[CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}\]

Из определения косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

\[cos A = \frac{AC}{AB}\]

Тогда:

\[AC = AB \cdot cos A = 4\sqrt{15} \cdot 0.25 = \sqrt{15}\]

По теореме Пифагора:

\[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(4\sqrt{15})^2 - (\sqrt{15})^2} = \sqrt{16 \cdot 15 - 15} = \sqrt{15 \cdot 15} = 15\]

Тогда:

\[CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{\sqrt{15} \cdot 15}{4\sqrt{15}} = \frac{15}{4} = 3.75\]

Ответ: 3.75