13) В треугольнике АВС известно, что АС = BC, 3/13 AB = 12, sin A = Найдите высоту СН. 13

Решение:

Так как \[AC = BC\] , то треугольник ABC - равнобедренный. \[CH\] - высота, проведенная к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, \[AH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\]

Теперь, \[sin A = \frac{CH}{AC}\] , отсюда \[CH = AC \cdot sin A\]

Чтобы найти \[AC\] , рассмотрим треугольник \[ACH\] . В нем \[AC^2 = AH^2 + CH^2\] (теорема Пифагора). Получаем: \[AC^2 = 6^2 + (AC \cdot sin A)^2\]

\[AC^2 = 36 + AC^2 \cdot sin^2 A\]

\[AC^2 - AC^2 \cdot sin^2 A = 36\]

\[AC^2 (1 - sin^2 A) = 36\]

\[AC^2 \cdot cos^2 A = 36\]

\[AC \cdot cos A = 6\]

Найдем \(cos A\) используя основное тригонометрическое тождество

\[sin^2 A + cos^2 A = 1\]

\[cos A = \sqrt{1 - sin^2 A}\]

Подставим \[sin A = \frac{3\sqrt{13}}{13}\]

\[cos A = \sqrt{1 - (\frac{3\sqrt{13}}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{9 \cdot 13}{169}} = \sqrt{1 - \frac{9}{13}} = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}\]

\[AC \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} = 6\]

\[AC = \frac{6 \cdot \sqrt{13}}{2} = 3\sqrt{13}\]

\[CH = AC \cdot sin A = 3\sqrt{13} \cdot \frac{3\sqrt{13}}{13} = \frac{9 \cdot 13}{13} = 9\]

Ответ: 9