3. Решите задачу (2 балла). Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а гипотенуза 35 см. Найдите площадь треугольника.

Решаем задачу:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \( a \) и \( b \), а гипотенуза равна \( c \). Из условия задачи известно, что периметр \( P = 84 \) см и гипотенуза \( c = 35 \) см.

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть:

\[ a + b + c = P \]

Подставим известные значения:

\[ a + b + 35 = 84 \] \[ a + b = 84 - 35 \] \[ a + b = 49 \]

Также известно, что в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Подставим значение гипотенузы:

\[ a^2 + b^2 = 35^2 \] \[ a^2 + b^2 = 1225 \]

Теперь у нас есть система двух уравнений:

\[ \begin{cases} a + b = 49 \\ a^2 + b^2 = 1225 \end{cases} \]

Выразим \( b \) из первого уравнения:

\[ b = 49 - a \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ a^2 + (49 - a)^2 = 1225 \] \[ a^2 + (49^2 - 2 \cdot 49 \cdot a + a^2) = 1225 \] \[ a^2 + 2401 - 98a + a^2 = 1225 \] \[ 2a^2 - 98a + 2401 - 1225 = 0 \] \[ 2a^2 - 98a + 1176 = 0 \]

Разделим уравнение на 2:

\[ a^2 - 49a + 588 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 588 = 2401 - 2352 = 49 \]

Теперь найдем корни:

\[ a_1 = \frac{49 + \sqrt{49}}{2} = \frac{49 + 7}{2} = \frac{56}{2} = 28 \] \[ a_2 = \frac{49 - \sqrt{49}}{2} = \frac{49 - 7}{2} = \frac{42}{2} = 21 \]

Если \( a = 28 \), то \( b = 49 - 28 = 21 \). Если \( a = 21 \), то \( b = 49 - 21 = 28 \).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 21 = 14 \cdot 21 = 294 \]

Ответ: Площадь треугольника равна 294 см²