5. Решите задачу (2 балла). В треугольнике АВС угол А равен 45°, а угол В равен 60°, ВС = 3√6. Найдите АС.

Решаем задачу:

В треугольнике ABC известны угол A = 45°, угол B = 60° и сторона BC = \( 3\sqrt{6} \). Нужно найти сторону AC.

Воспользуемся теоремой синусов:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \]

Найдем угол C. Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\[ C = 180° - A - B = 180° - 45° - 60° = 75° \]

Теперь воспользуемся равенством:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{3\sqrt{6}}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 60°} \]

Известно, что \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставим эти значения:

\[ \frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ \frac{3\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{AC \cdot 2}{\sqrt{3}} \] \[ \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \frac{2AC}{\sqrt{3}} \] \[ 6\sqrt{3} = \frac{2AC}{\sqrt{3}} \] \[ AC = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} \] \[ AC = \frac{6 \cdot 3}{2} \] \[ AC = \frac{18}{2} \] \[ AC = 9 \]

Ответ: AC = 9