С 1. Решите уравнение: \(\sin 2x\cdot\ctg x+2\cos x=2\sin^2x\).

Область определения исходного уравнения требует \(\sin x\ne0\). На этой области \(\sin 2x\cdot\ctg x=2\sin x\cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=2\cos^2x\).

Подставляем и делим обе части на 2: \(\cos^2x+\cos x=\sin^2x\). С учётом \(\sin^2x=1-\cos^2x\) получаем \(2\cos^2x+\cos x-1=0\), то есть \((2\cos x-1)(\cos x+1)=0\).

Из \(\cos x=\frac12\) получаем \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\). Корни уравнения \(\cos x=-1\) исключаются: при них \(\sin x=0\), а исходная \(\ctg x\) не определена.

Ответ: \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\).