С 2. а) Решите уравнение: \(4\sin^2x+8\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+1=0\).

Используем тождество \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\cos x\). Обозначим \(c=\cos x\) и заменим \(\sin^2x\) на \(1-c^2\):

\(4(1-c^2)-8c+1=0\), откуда \(4c^2+8c-5=0\).

Корни квадратного уравнения: \(c=\frac12\) и \(c=-\frac52\). Второй корень невозможен, поскольку косинус лежит в пределах от −1 до 1. Поэтому \(\cos x=\frac12\), и \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\).