С—15. 4. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обратных дробей через $t$, а другую — через $\frac1t$: $\frac{x^2-3}{x}+\frac{x}{x^2-3}=2\frac12$.

Question

Вопрос: $Фото задания: С—15. 4. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обратных дробей через $t$, а другую — через $\frac1t$:…$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x\ne0$, $x^2\ne3$. Обозначим $t=\frac{x^2-3}{x}$; тогда $\frac{x}{x^2-3}=\frac1t$, причём $t\ne0$.

Получаем $t+\frac1t=\frac52$. Умножая на $2t$, имеем $2t^2-5t+2=0$, откуда $(2t-1)(t-2)=0$. Значит, $t=\frac12$ или $t=2$.

При $t=\frac12$: $\frac{x^2-3}{x}=\frac12$, поэтому $2x^2-x-6=0$, откуда $x=2$ или $x=-\frac32$.

При $t=2$: $x^2-3=2x$, откуда $x=1\pm2$. Значения $x=3,-1$. Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x\in\left\{-\frac32,-1,1,2,3\right\}$.

С—15. 4. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обратных дробей через \(t\), а другую — через \(\frac1t\): \(\frac{x^2-3}{x}+\frac{x}{x^2-3}=2\frac12\).