С—15. 7. Найдите корни уравнения $2\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+x-\frac1x=7$.

Question

Вопрос: $Фото задания: С—15. 7. Найдите корни уравнения $2\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+x-\frac1x=7$.$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x\ne0$. Обозначим $t=x-\frac1x$. Тогда $x^2+\frac1{x^2}=t^2+2$, поскольку $t^2=x^2-2+\frac1{x^2}$.

Подстановка даёт $2(t^2+2)+t=7$, то есть $2t^2+t-3=0$. Разложим: $(2t+3)(t-1)=0$. Следовательно, $t=1$ или $t=-\frac32$.

При $t=1$: $x-\frac1x=1$, откуда $x^2-x-1=0\text{ и }x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$.

При $t=-\frac32$: $x-\frac1x=-\frac32$, откуда $2x^2+3x-2=0\text{ и }x=\frac12$ или $x=-2$. Все найденные значения ненулевые.

Ответ: $x=\frac{1+\sqrt5}{2},\frac{1-\sqrt5}{2},\frac12,-2$.

С—15. 7. Найдите корни уравнения \(2\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+x-\frac1x=7\).