С1. Решите уравнение \(x^2 + x + 1 = \frac{15}{x^2+x+3}\)

1. Введем новую переменную: Пусть \(t = x^2 + x + 1\). Тогда \(x^2 + x + 3 = t + 2\).
2. Перепишем уравнение с новой переменной: \[t = \frac{15}{t + 2}\]
3. Умножим обе части уравнения на \(t + 2\), чтобы избавиться от знаменателя: \[t(t + 2) = 15\]
4. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть уравнения: \[t^2 + 2t - 15 = 0\]
5. Решим квадратное уравнение относительно t через дискриминант: \[D = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64\] \[t_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[t_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]
6. Вернемся к исходной переменной x: Для \(t_1 = 3\): \[x^2 + x + 1 = 3\] \[x^2 + x - 2 = 0\] Решим это квадратное уравнение: \[D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\] \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] Для \(t_2 = -5\): \[x^2 + x + 1 = -5\] \[x^2 + x + 6 = 0\] Решим это квадратное уравнение: \[D = 1^2 - 4(1)(6) = 1 - 24 = -23\] Так как дискриминант отрицательный, это уравнение не имеет действительных корней.
7. Запишем корни исходного уравнения: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -2\)

Ответ: x = 1 и x = -2

Проверка за 10 секунд: Подставьте найденные корни в исходное уравнение и убедитесь, что они верны.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Введение новой переменной позволяет упростить сложные уравнения и свести их к более простым видам.