С1. При каких значениях \(m\) уравнение \(4x^2 + 2x - m = 0\) имеет единственный корень?

Решение:

Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю \(D=0\).

В нашем уравнении \(4x^2 + 2x - m = 0\):

• \(a = 4\)
• \(b = 2\)
• \(c = -m\)

Вычисляем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-m) \]

\[ D = 4 - (-16m) \]

\[ D = 4 + 16m \]

Чтобы уравнение имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю:

\[ 4 + 16m = 0 \]

Решаем это уравнение относительно \(m\):

\[ 16m = -4 \]

\[ m = \frac{-4}{16} \]

\[ m = -\frac{1}{4} \]

Ответ: \(m = -\frac{1}{4}\)