С2. При каких значениях \(k\) и \(p\) корнями уравнения \(kx^2 + px + 3 = 0\) являются числа 1 и -3?

Решение:

Если числа 1 и -3 являются корнями уравнения \(kx^2 + px + 3 = 0\), то при подстановке этих чисел вместо \(x\) уравнение должно обращаться в верное равенство. Также, по теореме Виета, произведение корней равно \(\frac{c}{a}\), а сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\).

1. Используем теорему Виета:
• Произведение корней: \(1 \cdot (-3) = -3\).
  По условию, произведение корней равно \(\frac{3}{k}\).
  \[ -3 = \frac{3}{k} \]
  Отсюда находим \(k\):
  \[ k = \frac{3}{-3} = -1 \]
• Сумма корней: \(1 + (-3) = -2\).
  По условию, сумма корней равна \(-\frac{p}{k}\).
  \[ -2 = -\frac{p}{k} \]
• Подставляем найденное значение \(k = -1\):
  \[ -2 = -\frac{p}{-1} \]
  \[ -2 = p \]
2. Проверка:
   Подставим найденные \(k=-1\) и \(p=-2\) в исходное уравнение:
   \[ -1x^2 + (-2)x + 3 = 0 \]
   \[ -x^2 - 2x + 3 = 0 \]
   Умножим на -1, чтобы получить приведенное уравнение:
   \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
   Найдем корни этого уравнения:
   \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
   \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
   \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
   Корни совпадают с заданными.

Ответ: \(k = -1\), \(p = -2\)