С1. В треугольнике ABC: ∠C = 60°, ∠B = 90°. Высота BB₁ равна 2 см. Найти AB.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, ∠B = 90° и ∠C = 60°.
2. Найдем ∠A: ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°.
3. BB₁ — высота, проведенная из вершины B к гипотенузе AC.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BB₁C. В нем ∠BB₁C = 90°, ∠C = 60°.
5. Найдем ∠CBB₁: ∠CBB₁ = 180° - 90° - 60° = 30°.
6. В прямоугольном треугольнике BB₁C, катет BB₁, противолежащий углу ∠C = 60°, равен: BB₁ = BC * sin(60°).
7. Из этого следует: BC = BB₁ / sin(60°) = 2 / (√3/2) = 4/√3 = 4√3/3 см.
8. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нем ∠B = 90°, ∠C = 60°, ∠A = 30°.
9. Катет AB противолежит углу ∠C, а катет BC противолежит углу ∠A.
10. По свойству прямоугольного треугольника, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае, AB — катет, противолежащий углу 60°, а BC — катет, противолежащий углу 30°.
11. Таким образом, BC = AB / 2, или AB = 2 * BC.
12. Подставим значение BC: AB = 2 * (4√3/3) = 8√3/3 см.

Ответ: 8√3/3 см