В1. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 77 см.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны a, a и b.

Рассмотрим два случая:

1. Боковая сторона меньше основания:
   Пусть a = b - 17. Периметр: 2a + b = 77. Подставляем: 2(b - 17) + b = 77.
   2b - 34 + b = 77.
   3b = 111.
   b = 37 см.
   Тогда a = 37 - 17 = 20 см. Стороны: 20 см, 20 см, 37 см.
2. Основание меньше боковой стороны:
   Пусть b = a - 17. Периметр: 2a + b = 77. Подставляем: 2a + (a - 17) = 77.
   3a - 17 = 77.
   3a = 94.
   a = 94/3 см (нецелое число, возможно).
   Тогда b = 94/3 - 17 = 94/3 - 51/3 = 43/3 см. Стороны: 94/3 см, 94/3 см, 43/3 см.

Условие "тупоугольного" не накладывает ограничений на длины сторон без знания углов, но обычно в таких задачах подразумеваются целые числа. Если задача допускает дробные стороны, то оба варианта верны.

Проверим треугольник со сторонами 20, 20, 37. По теореме косинусов: cos B = (20^2 + 20^2 - 37^2) / (2 * 20 * 20) = (400 + 400 - 1369) / 800 = -569 / 800 < 0. Значит, угол B тупой. Этот вариант подходит.

Проверим треугольник со сторонами 94/3, 94/3, 43/3. cos B = ((94/3)^2 + (94/3)^2 - (43/3)^2) / (2 * (94/3) * (94/3)) = (2 * 8836/9 - 1849/9) / (2 * 8836/9) = (17672 - 1849) / 17672 = 15823 / 17672 > 0. Углы при основании острые. Угол при вершине: cos A = (2 * (94/3)^2 - (43/3)^2) / (2 * (94/3)^2) = 1 - (43/3)^2 / (2 * (94/3)^2) = 1 - 1849 / (2 * 8836) = 1 - 1849 / 17672 > 0. Этот вариант не подходит, если тупой угол не при основании.

Если в равнобедренном треугольнике тупой угол, он может быть только при вершине. Тогда боковые стороны меньше основания.

Ответ: 20 см, 20 см, 37 см.