Самостоятельная работа № 4 «Прямоугольник», вариант 1, задача 2. В прямоугольнике ABCD O — точка пересечения диагоналей, BH и DE — высоты треугольников ABO и COD соответственно, ∠BOH = 60°, AH = 5 см. Найдите длину OE.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OA = OB. Так как BH — высота, треугольник BOH прямоугольный.

1. В прямоугольном треугольнике BOH с углом BOH = 60° имеем OH = OB · cos 60° = OA/2.
2. Точка H лежит на AO, поэтому AH = AO − OH = OA/2. Из AH = 5 см следует OA = 10 см и OH = 5 см.
3. Диагонали прямоугольника симметричны относительно O: проекции B и D на диагональ AC отстоят от O на одинаковое расстояние. Следовательно, OE = OH = 5 см.

Ответ: 5 см.