Самостоятельная работа № 4 «Прямоугольник», вариант 2, задача 2. В прямоугольнике MPKH O — точка пересечения диагоналей, PA и HB перпендикулярны MK и проведены из вершин P и H к прямой MK. Известно, что MA = OB. Найдите величину угла POM.

Обозначим MP = a, MH = b, MK = d, где d² = a² + b². Проекции вершин P и H на диагональ MK дают MA = a²/d и расстояние от M до B, равное b²/d. Точка O — середина MK, поэтому OB = |b²/d − d/2|.

1. Из условия MA = OB получаем a²/d = |b²/d − d/2|, то есть 2a² = |b² − a²|.
2. Случай b² < a² невозможен, так как тогда |b² − a²| = a² − b² < a², а требуется 2a². Поэтому b² − a² = 2a² и b² = 3a².
3. Для векторов OP и OM косинус угла между ними равен (b² − a²)/(a² + b²) = 2a²/(4a²) = 1/2. Следовательно, ∠POM = 60°.

Ответ: 60°.