Самостоятельная работа № 5 «Ромб. Квадрат», вариант 1, задача 2. На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD отмечены точки M, K, E и P так, что AM = BK = CE = DP, ∠APM равен 30°, AM = 4 см. Найдите периметр четырёхугольника MKEP.

Пусть сторона квадрата равна s. В прямоугольном треугольнике APM угол при P равен 30°, а AM = 4 см — катет, противолежащий этому углу. Поэтому AP = 4√3 см. Так как DP = 4 см, AD = AP + DP = 4√3 + 4 см.

Удобно задать координаты: A(0, 0), B(s, 0), C(s, s), D(0, s). Тогда M(4, 0), K(s, 4), E(s − 4, s), P(0, s − 4), причём s − 4 = 4√3. Например, MK = √((4√3)² + 4²) = 8 см. Аналогично KE = EP = PM = 8 см.

Периметр MKEP равен 4 · 8 = 32 см.

Ответ: 32 см.