Смежные стороны параллелограмма равны a и b, а один из его углов равен α. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.

Рассмотрим треугольники, образованные диагоналями и сторонами параллелограмма. По теореме косинусов длины диагоналей равны d₁ = √(a² + b² + 2ab cos α) и d₂ = √(a² + b² − 2ab cos α).

Скалярное произведение векторов диагоналей даёт cos φ = (a² − b²)/(d₁d₂), где φ — меньший угол между диагоналями. Следовательно, φ = arccos(|a² − b²|/(d₁d₂)).

Ответ: диагонали имеют длины √(a² + b² + 2ab cos α) и √(a² + b² − 2ab cos α); угол между ними равен arccos(|a² − b²|/(d₁d₂)).