625. Сократите дробь: a) \frac{x^{2}-11x+24}{x^{2}-64};

a) Сократим дробь \(\frac{x^{2}-11x+24}{x^{2}-64}\).

Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

$$x^2 - 11x + 24$$

Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 - 11x + 24 = 0\):

$$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$x^2 - 11x + 24 = a(x - x_1)(x - x_2) = (x - 8)(x - 3)$$

Знаменатель:

$$x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8)$$

Сократим дробь:

$$\frac{x^{2}-11x+24}{x^{2}-64} = \frac{(x - 8)(x - 3)}{(x - 8)(x + 8)} = \frac{x - 3}{x + 8}$$

Ответ: \(\frac{x - 3}{x + 8}\)