625. Сократите дробь: б) \frac{2y^{2}+9y-5}{4y^{2}-1}.

б) Сократим дробь \(\frac{2y^{2}+9y-5}{4y^{2}-1}\).

Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

$$2y^2 + 9y - 5$$

Найдем корни квадратного трехчлена \(2y^2 + 9y - 5 = 0\):

$$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5$$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$2y^2 + 9y - 5 = a(y - y_1)(y - y_2) = 2(y - \frac{1}{2})(y + 5) = (2y - 1)(y + 5)$$

Знаменатель:

$$4y^2 - 1 = (2y - 1)(2y + 1)$$

Сократим дробь:

$$\frac{2y^{2}+9y-5}{4y^{2}-1} = \frac{(2y - 1)(y + 5)}{(2y - 1)(2y + 1)} = \frac{y + 5}{2y + 1}$$

Ответ: \(\frac{y + 5}{2y + 1}\)