624. Сократите дробь: д) \frac{p^{2}-11p+10}{20+8p-p^{2}};

д) Сократим дробь \(\frac{p^{2}-11p+10}{20+8p-p^{2}}\).

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

$$p^2 - 11p + 10$$

Найдем корни квадратного трехчлена \(p^2 - 11p + 10 = 0\):

$$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$$ $$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$$ $$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$p^2 - 11p + 10 = a(p - p_1)(p - p_2) = (p - 10)(p - 1)$$

Знаменатель:

$$20 + 8p - p^2 = -p^2 + 8p + 20$$

Найдем корни квадратного трехчлена \(-p^2 + 8p + 20 = 0\):

$$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 20 = 64 + 80 = 144$$ $$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 12}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2$$ $$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 12}{2 \cdot (-1)} = \frac{-20}{-2} = 10$$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$-p^2 + 8p + 20 = a(p - p_1)(p - p_2) = -(p + 2)(p - 10)$$

Сократим дробь:

$$\frac{p^{2}-11p+10}{20+8p-p^{2}} = \frac{(p - 10)(p - 1)}{-(p + 2)(p - 10)} = -\frac{p - 1}{p + 2}$$

Ответ: \(-\frac{p - 1}{p + 2}\)