624. Сократите дробь: a) \frac{4x+4}{3x^{2}+2x-1};

a) Сократим дробь \(\frac{4x+4}{3x^{2}+2x-1}\).

Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

$$4x+4 = 4(x+1)$$

Знаменатель:

$$3x^2 + 2x - 1$$

Найдем корни квадратного трехчлена \(3x^2 + 2x - 1 = 0\):

$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$3x^2 + 2x - 1 = a(x - x_1)(x - x_2) = 3(x - \frac{1}{3})(x + 1) = (3x - 1)(x + 1)$$

Сократим дробь:

$$\frac{4x+4}{3x^{2}+2x-1} = \frac{4(x+1)}{(3x-1)(x+1)} = \frac{4}{3x-1}$$

Ответ: \(\frac{4}{3x-1}\)