143. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффици- ентами, корни которого равны: 1) 4 и 9; 2) -3 и 8; 3) 2/3 и 5; 4) 0,2 и -6; 5) -4/9 и 1/6; 6) 3-√31 и 3 + √31; 7) √5 и -√5; 8) -11-2√3 и -11 + 2√3.

Чтобы составить квадратное уравнение вида $$x^2 + bx + c = 0$$ по известным корням $$x_1$$ и $$x_2$$, можно использовать теорему Виета:

$$x_1 + x_2 = -b$$

$$x_1 \cdot x_2 = c$$

1. Корни: $$4$$ и $$9$$
   • $$x_1 + x_2 = 4 + 9 = 13 = -b$$ ⇒ $$b = -13$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot 9 = 36 = c$$
   • Уравнение: $$x^2 - 13x + 36 = 0$$
2. Корни: $$-3$$ и $$8$$
   • $$x_1 + x_2 = -3 + 8 = 5 = -b$$ ⇒ $$b = -5$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = -3 \cdot 8 = -24 = c$$
   • Уравнение: $$x^2 - 5x - 24 = 0$$
3. Корни: $$\frac{2}{3}$$ и $$5$$
   • $$x_1 + x_2 = \frac{2}{3} + 5 = \frac{2}{3} + \frac{15}{3} = \frac{17}{3} = -b$$ ⇒ $$b = -\frac{17}{3}$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3} = c$$
   • Уравнение: $$x^2 - \frac{17}{3}x + \frac{10}{3} = 0$$
   • Умножаем на 3: $$3x^2 - 17x + 10 = 0$$
4. Корни: $$0.2$$ и $$-6$$ = $$\frac{1}{5}$$ и $$-6$$;
   • $$x_1 + x_2 = \frac{1}{5} - 6 = \frac{1}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{29}{5} = -b$$ ⇒ $$b = \frac{29}{5}$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{5} \cdot (-6) = -\frac{6}{5} = c$$
   • Уравнение: $$x^2 + \frac{29}{5}x - \frac{6}{5} = 0$$
   • Умножаем на 5: $$5x^2 + 29x - 6 = 0$$
5. Корни: $$\frac{-4}{9}$$ и $$\frac{1}{6}$$;
   • $$x_1 + x_2 = \frac{-4}{9} + \frac{1}{6} = \frac{-8}{18} + \frac{3}{18} = \frac{-5}{18} = -b$$ ⇒ $$b = \frac{5}{18}$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{9} \cdot \frac{1}{6} = \frac{-4}{54} = \frac{-2}{27} = c$$
   • Уравнение: $$x^2 + \frac{5}{18}x - \frac{2}{27} = 0$$
   • Умножаем на 54: $$54x^2 + 15x - 4 = 0$$
6. Корни: $$3-\sqrt{31}$$ и $$3+\sqrt{31}$$
   • $$x_1 + x_2 = 3 - \sqrt{31} + 3 + \sqrt{31} = 6 = -b$$ ⇒ $$b = -6$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = (3 - \sqrt{31}) \cdot (3 + \sqrt{31}) = 9 - 31 = -22 = c$$
   • Уравнение: $$x^2 - 6x - 22 = 0$$
7. Корни: $$\sqrt{5}$$ и $$-\sqrt{5}$$
   • $$x_1 + x_2 = \sqrt{5} - \sqrt{5} = 0 = -b$$ ⇒ $$b = 0$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = \sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5}) = -5 = c$$
   • Уравнение: $$x^2 - 5 = 0$$
8. Корни: $$-11-2\sqrt{3}$$ и $$-11 + 2\sqrt{3}$$
   • $$x_1 + x_2 = -11 - 2\sqrt{3} - 11 + 2\sqrt{3} = -22 = -b$$ ⇒ $$b = 22$$
   • $$x_1 \cdot x_2 = (-11 - 2\sqrt{3}) \cdot (-11 + 2\sqrt{3}) = 121 - 4 \cdot 3 = 121 - 12 = 109 = c$$
   • Уравнение: $$x^2 + 22x + 109 = 0$$

Ответ: 1) x² - 13x + 36 = 0; 2) x² - 5x - 24 = 0; 3) 3x² - 17x + 10 = 0; 4) 5x² + 29x - 6 = 0; 5) 54x² + 15x - 4 = 0; 6) x² - 6x - 22 = 0; 7) x² - 5 = 0; 8) x² + 22x + 109 = 0