5. Тележка, масса которой 120 кг, движется по рельсам без тре- ния со скоростью 6 м/с. С тележки соскакивает человек массой 80 кг под углом 30° к направлению ее движения. Скорость тележки уменьшается при этом до 5 м/с. Какой была скорость человека во время прыжка относительно земли?

Решение:

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление:

$$(M + m) \cdot v = M \cdot v_1 + m \cdot v_2 \cdot cos(\alpha)$$

Где:

M - масса тележки, M = 120 кг

m - масса человека, m = 80 кг

v - скорость тележки и человека до прыжка, v = 6 м/с

v1 - скорость тележки после прыжка, v1 = 5 м/с

v2 - скорость человека во время прыжка относительно тележки

$$\alpha$$ - угол, под которым соскакивает человек, $$\alpha$$ = 30°

Тогда:

$$(120 + 80) \cdot 6 = 120 \cdot 5 + 80 \cdot v_2 \cdot cos(30^\circ)$$

$$200 \cdot 6 = 600 + 80 \cdot v_2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$1200 = 600 + 40 \cdot \sqrt{3} \cdot v_2$$

$$600 = 40 \cdot \sqrt{3} \cdot v_2$$

$$v_2 = \frac{600}{40 \cdot \sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 8.66 \frac{м}{с}$$

Горизонтальная скорость человека во время прыжка относительно земли:

$$v_{гориз} = v_1 + v_2 \cdot cos(\alpha) = 5 + 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 + 5 \cdot \frac{3}{2} = 5 + 7.5 = 12.5 \frac{м}{с}$$

Скорость человека во время прыжка относительно земли:

$$v_2 = \frac{v_{гориз}}{cos(\alpha)} = \frac{12.5}{cos(30^\circ)} = \frac{12.5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{25}{\sqrt{3}} \approx 14.43 \frac{м}{с}$$

Ответ: 14.43 м/с