24. Тип 24 № 333322 i Известно, что около четырехугольника АВСD можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и CD четырехугольника пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники МВС и MDA подобны.

Доказательство:

Поскольку около четырехугольника \(ABCD\) можно описать окружность, то углы \(\angle ABC\) и \(\angle ADC\) в сумме равны 180°, как противолежащие углы вписанного четырехугольника. Тогда углы \(\angle MBC\) и \(\angle MDA\) также равны, так как они смежные с \(\angle ABC\) и \(\angle ADC\) соответственно, и смежные углы в сумме дают 180°.

\(\angle MBC = 180^\circ - \angle ABC\), \(\angle MDA = 180^\circ - \angle ADC\)

\(\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ\) следовательно \(\angle MBC = \angle MDA\)

Угол \(\angle AMC\) является общим для треугольников \(MBC\) и \(MDA\).

Следовательно, треугольники \(MBC\) и \(MDA\) подобны по двум углам (угол \(M\) общий и \(\angle MBC = \angle MDA\)).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано