20. Тип 20 № 314310 / Сократите дробь \(\frac{x^{3}+2x^{2}-9x-18}{(x-3)(x+2)}\)

Разложим числитель дроби на множители. Сгруппируем слагаемые:

$$x^{3}+2x^{2}-9x-18 = (x^{3}+2x^{2})-(9x+18) = x^{2}(x+2)-9(x+2) = (x^{2}-9)(x+2)$$

Разность квадратов разложим на множители:

$$x^{2}-9 = (x-3)(x+3)$$

Тогда числитель дроби можно записать так:

$$x^{3}+2x^{2}-9x-18 = (x-3)(x+3)(x+2)$$

Исходная дробь примет вид:

$$\frac{x^{3}+2x^{2}-9x-18}{(x-3)(x+2)} = \frac{(x-3)(x+3)(x+2)}{(x-3)(x+2)}$$

Сократим дробь на \((x-3)(x+2)\), получим:

$$\frac{(x-3)(x+3)(x+2)}{(x-3)(x+2)} = x+3$$

Ответ: \(x+3\)