22. Тип 22 № 339866 i Прямая \(y = 2x + b\) касается окружности \(x^2 + y^2 = 5\) в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.

Если прямая касается окружности, то расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности. Центр окружности \(x^2 + y^2 = 5\) находится в точке \((0, 0)\), а радиус равен \(\sqrt{5}\).

Расстояние от точки \((x_0, y_0)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\) вычисляется по формуле:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Преобразуем уравнение прямой к виду \(2x - y + b = 0\). Тогда расстояние от точки \((0, 0)\) до прямой равно:

$$\sqrt{5} = \frac{|2 \cdot 0 - 0 + b|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|b|}{\sqrt{5}}$$

Отсюда \(|b| = 5\), то есть \(b = 5\) или \(b = -5\).

Рассмотрим уравнение прямой \(y = 2x + b\) и окружности \(x^2 + y^2 = 5\). Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:

$$x^2 + (2x + b)^2 = 5$$ $$x^2 + 4x^2 + 4bx + b^2 = 5$$ $$5x^2 + 4bx + b^2 - 5 = 0$$

Поскольку прямая касается окружности, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:

$$D = (4b)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (b^2 - 5) = 16b^2 - 20b^2 + 100 = -4b^2 + 100 = 0$$ $$4b^2 = 100$$ $$b^2 = 25$$

Отсюда \(b = 5\) или \(b = -5\).

Найдем \(x\), используя условие \(5x^2 + 4bx + b^2 - 5 = 0\):

$$x = \frac{-4b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 5} = \frac{-4b}{10} = -\frac{2b}{5}$$

Если \(b = 5\), то \(x = -\frac{2 \cdot 5}{5} = -2\). Тогда \(y = 2 \cdot (-2) + 5 = 1\). Точка касания \((-2, 1)\).

Если \(b = -5\), то \(x = -\frac{2 \cdot (-5)}{5} = 2\). Тогда \(y = 2 \cdot 2 - 5 = -1\). Точка касания \((2, -1)\).

Поскольку абсцисса должна быть положительной, то точка касания \((2, -1)\).

Ответ: (2; -1)