19. Тип 5 № 508891 i Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Вероятность выбрать первый кубик: $$P(K_1) = 0,5$$. Вероятность выбрать второй кубик: $$P(K_2) = 0,5$$.

Для первого кубика вероятность выпадения 4 и 6 в каком-то порядке:

$$P(4, 6 | K_1) = \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{36} + \frac{2}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$

Для второго кубика вероятность выпадения 4 и 6 в каком-то порядке:

$$P(4, 6 | K_2) = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} + \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36} + \frac{4}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$$

Вероятность, что выпали 4 и 6:

$$P(4, 6) = P(4, 6 | K_1) \cdot P(K_1) + P(4, 6 | K_2) \cdot P(K_2) = \frac{1}{9} \cdot 0,5 + \frac{2}{9} \cdot 0,5 = \frac{0,5}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1,5}{9} = \frac{1}{6}$$

Используем формулу Байеса для нахождения вероятности, что был выбран второй кубик, при условии, что выпали 4 и 6:

$$P(K_2 | 4, 6) = \frac{P(4, 6 | K_2) \cdot P(K_2)}{P(4, 6)} = \frac{\frac{2}{9} \cdot 0,5}{\frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{6}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

Ответ: 2/3