16. Тип 5 № 629455 i При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем – 0,5. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероят- ность уничтожения цели была не менее 0,97? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Пусть $$n$$ - количество выстрелов.

Вероятность того, что цель не будет уничтожена после первого выстрела: $$1 - 0,3 = 0,7$$.

Вероятность того, что цель не будет уничтожена после $$n$$ выстрелов:

$$P(\text{не уничтожена}) = 0,7 \cdot (1 - 0,5)^{n-1} = 0,7 \cdot (0,5)^{n-1}$$.

Вероятность того, что цель будет уничтожена после $$n$$ выстрелов:

$$P(\text{уничтожена}) = 1 - 0,7 \cdot (0,5)^{n-1} \ge 0,97$$

$$0,7 \cdot (0,5)^{n-1} \le 0,03$$

$$(0,5)^{n-1} \le \frac{0,03}{0,7} = \frac{3}{70}$$

$$n = 1: (0,5)^0 = 1 > \frac{3}{70}$$

$$n = 2: (0,5)^1 = 0,5 > \frac{3}{70}$$

$$n = 3: (0,5)^2 = 0,25 > \frac{3}{70}$$

$$n = 4: (0,5)^3 = 0,125 > \frac{3}{70}$$

$$n = 5: (0,5)^4 = 0,0625 > \frac{3}{70} \approx 0,0429$$

$$n = 6: (0,5)^5 = 0,03125 < \frac{3}{70} \approx 0,0429$$

Следовательно, потребуется 6 выстрелов.

Ответ: 6