22. Тип 5 № 508870 i Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга Иван и Алексей. Ка- кова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

Всего в турнире участвуют 16 игроков.

Количество туров: $$log_2(16) = 4$$.

В первом туре 16 игроков случайным образом разбиваются на 8 пар. Вероятность того, что Иван и Алексей попадут в одну пару: $$P_1 = \frac{1}{15}$$.

Во втором туре остаётся 8 игроков, которых разбивают на 4 пары. Вероятность, что они оба выиграли в первом туре: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$. Вероятность встречи во втором туре при условии, что они оба выиграли в первом туре: $$P_2 = \frac{1}{7}$$. Вероятность встречи во втором туре: $$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7}$$.

В третьем туре остаётся 4 игрока, которых разбивают на 2 пары. Вероятность, что они оба выиграли во втором туре: $$\frac{1}{4}$$. Вероятность встречи в третьем туре при условии, что они оба выиграли в предыдущих турах: $$P_3 = \frac{1}{3}$$. Вероятность встречи в третьем туре: $$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$$.

В четвёртом туре остаётся 2 игрока. Вероятность, что они оба выиграли в третьем туре: $$\frac{1}{4}$$. Вероятность встречи в четвёртом туре при условии, что они оба выиграли в предыдущих турах: $$P_4 = 1$$. Вероятность встречи в четвёртом туре: $$\frac{1}{4} \cdot 1$$.

Общая вероятность встречи Ивана и Алексея в каком-либо туре:

$$P = \frac{1}{15} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{15} + \frac{1}{28} + \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{28 + 15 + 35 + 105}{420} = \frac{183}{420} = \frac{61}{140}$$

Ответ: 61/140