8. Тип 8 № 352347 Найдите значение выражения (-) при р=3-2√2.9--22

Для нахождения значения выражения при $$p=3-2\sqrt{2}$$, $$q=-2\sqrt{2}$$ подставим значения p и q в выражение:

$$\frac{pq}{p+q} \cdot (\frac{q}{p}-\frac{p}{q}) = \frac{(3-2\sqrt{2})(-2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})+(-2\sqrt{2})}\cdot (\frac{-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}-\frac{3-2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}})$$

Сначала упростим первое выражение:

$$\frac{(3-2\sqrt{2})(-2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})+(-2\sqrt{2})} = \frac{-6\sqrt{2}+8}{3-4\sqrt{2}}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $$(3+4\sqrt{2})$$:

$$\frac{(-6\sqrt{2}+8)(3+4\sqrt{2})}{(3-4\sqrt{2})(3+4\sqrt{2})} = \frac{-18\sqrt{2}-48+24+32\sqrt{2}}{9-32} = \frac{14\sqrt{2}-24}{-23} = \frac{24-14\sqrt{2}}{23}$$

Теперь упростим второе выражение:

$$\frac{-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}-\frac{3-2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}} = \frac{(-2\sqrt{2})^2-(3-2\sqrt{2})^2}{(-2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{8-(9-12\sqrt{2}+8)}{-6\sqrt{2}+8} = \frac{8-17+12\sqrt{2}}{8-6\sqrt{2}} = \frac{-9+12\sqrt{2}}{8-6\sqrt{2}}$$

Разделим числитель и знаменатель на 2:

$$\frac{-9+12\sqrt{2}}{8-6\sqrt{2}} = \frac{-3+4\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $$(4+3\sqrt{2})$$:

$$\frac{(-3+4\sqrt{2})(4+3\sqrt{2})}{(4-3\sqrt{2})(4+3\sqrt{2})} = \frac{-12-9\sqrt{2}+16\sqrt{2}+24}{16-18} = \frac{12+7\sqrt{2}}{-2} = -6-\frac{7}{2}\sqrt{2}$$

Теперь умножим первое выражение на второе:

$$\frac{24-14\sqrt{2}}{23} \cdot ( -6-\frac{7}{2}\sqrt{2}) = \frac{(24-14\sqrt{2})(-12-7\sqrt{2})}{46} = \frac{-288 - 168\sqrt{2}+168\sqrt{2}+196}{46} = \frac{-92}{46} = -2$$

Ответ: -2