15. Тип 15 № 339370 В треугольнике АВС угол C равен 90°, sin ∠A=АС - 9. Найдите АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) известно:

• sin ∠A = 4/5
• AC = 9

Найти AB.

В прямоугольном треугольнике синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

$$\sin{∠A} = \frac{BC}{AB}$$

Также известен косинус угла A, который определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):

$$\cos{∠A} = \frac{AC}{AB}$$

Мы знаем AC и sin ∠A, но нам нужен AB. Можно использовать основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2{∠A} + \cos^2{∠A} = 1$$

Выразим cos ∠A:

$$\cos{∠A} = \sqrt{1 - \sin^2{∠A}} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

Теперь используем определение косинуса:

$$\frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$$

Подставим AC = 9:

$$\frac{9}{AB} = \frac{3}{5}$$

Выразим AB:

$$AB = \frac{9 \cdot 5}{3} = \frac{45}{3} = 15$$

Ответ: 15