4. Тип 9 № 8254 В треугольнике АВС угол C равен 90° ,AC = 4, sinA= \frac{\sqrt{5}}{5} Найдите ВС.

Решение:

1) Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае, $$sin A = \frac{BC}{AB}$$.

2) Выразим BC: $$BC = AB \cdot sin A$$.

3) По теореме Пифагора $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$.

4) Подставим BC: $$AB^2 = AC^2 + (AB \cdot sin A)^2$$.

5) Выразим AB: $$AB^2 - (AB \cdot sin A)^2 = AC^2$$

6) $$AB^2(1 - sin^2 A) = AC^2$$

7) $$AB^2 = \frac{AC^2}{1 - sin^2 A}$$

8) Подставим известные значения: $$AB^2 = \frac{4^2}{1 - (\frac{\sqrt{5}}{5})^2} = \frac{16}{1 - \frac{5}{25}} = \frac{16}{\frac{20}{25}} = \frac{16}{\frac{4}{5}} = 16 \cdot \frac{5}{4} = 4 \cdot 5 = 20$$

9) $$AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$.

10) Тогда $$BC = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \cdot 5}{5} = 2$$.

Ответ: 2