11. Углы треугольника REN относятся так: ∠R: ∠E: ∠N=1:2:3. EM- биссектриса угла REN. Длина отрезка МN равна 21. Найдите ЕМ. Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть ∠R = x, тогда ∠E = 2x, ∠N = 3x.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

x + 2x + 3x = 180°

6x = 180°

x = 30°

Следовательно, ∠R = 30°, ∠E = 60°, ∠N = 90°.

Так как EM - биссектриса угла REN, то ∠REM = ∠MEN = ∠E / 2 = 60° / 2 = 30°.

В треугольнике REM: ∠REM = 30°, ∠R = 30°, следовательно, треугольник REM - равнобедренный, и RM = EM.

В прямоугольном треугольнике REN: tg(∠R) = EN / RN, следовательно, RN = EN / tg(∠R).

В прямоугольном треугольнике MEN: tg(∠MEN) = MN / EN, следовательно, EN = MN / tg(∠MEN) = 21 / tg(30°) = 21√3.

Тогда RN = EN / tg(∠R) = 21√3 / tg(30°) = 21√3 / (1/√3) = 21 * 3 = 63.

RM = RN - MN = 63 - 21 = 42.

Так как RM = EM, то EM = 42.

Ответ: EM = 42.