491 Упростить выражение: 1) cos (α – β) – cos (α + β); 2) cos (π/4 + α) cos (π/4 − α) + 1/2 sin² α; 3) cos 3α + sin α sin 2α; 4) cos 2α − cos α cos 3α.

1) cos (α – β) – cos (α + β);

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α – β) – cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β - (cos α cos β - sin α sin β) = cos α cos β + sin α sin β - cos α cos β + sin α sin β = 2 sin α sin β

Ответ: 2 sin α sin β

2) cos (π/4 + α) cos (π/4 − α) + 1/2 sin² α;

cos (π/4 + α) = cos (π/4) cos α - sin (π/4) sin α = √2/2 cos α - √2/2 sin α

cos (π/4 - α) = cos (π/4) cos α + sin (π/4) sin α = √2/2 cos α + √2/2 sin α

cos (π/4 + α) cos (π/4 − α) = (√2/2 cos α - √2/2 sin α) (√2/2 cos α + √2/2 sin α) = (√2/2 cos α)² - (√2/2 sin α)² = 2/4 cos² α - 2/4 sin² α = 1/2 cos² α - 1/2 sin² α

cos (π/4 + α) cos (π/4 − α) + 1/2 sin² α = 1/2 cos² α - 1/2 sin² α + 1/2 sin² α = 1/2 cos² α

Ответ: 1/2 cos² α

3) cos 3α + sin α sin 2α;

cos 3α = cos (2α + α) = cos 2α cos α - sin 2α sin α

cos 3α + sin α sin 2α = cos 2α cos α - sin 2α sin α + sin α sin 2α = cos 2α cos α

Ответ: cos 2α cos α

4) cos 2α − cos α cos 3α.

cos 3α = cos (2α + α) = cos 2α cos α - sin 2α sin α

cos α cos 3α = cos α (cos 2α cos α - sin 2α sin α) = cos 2α cos² α - sin 2α sin α cos α

cos 2α − cos α cos 3α = cos 2α - (cos 2α cos² α - sin 2α sin α cos α) = cos 2α - cos 2α cos² α + sin 2α sin α cos α = cos 2α (1 - cos² α) + sin 2α sin α cos α = cos 2α sin² α + sin 2α sin α cos α = sin α (cos 2α sin α + sin 2α cos α) = sin α sin (2α + α) = sin α sin 3α

Ответ: sin α sin 3α