489 Вычислить sin (α - β), если cos α = -0,8, π/2 < α < π, и sin β = -12/13, π < β < 3π/2.

Дано: cos α = -0.8 = -4/5, π/2 < α < π, sin β = -12/13, π < β < 3π/2.

Найти: sin (α - β)

Так как π/2 < α < π, α находится во второй четверти, где sin α > 0.

Так как π < β < 3π/2, β находится в третьей четверти, где cos β < 0.

Найдем sin α:

$$sin^2 α + cos^2 α = 1$$

$$sin^2 α = 1 - cos^2 α = 1 - (\frac{-4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

$$sin α = ±\frac{3}{5}$$

Так как sin α > 0, то sin α = 3/5.

Найдем cos β:

$$sin^2 β + cos^2 β = 1$$

$$cos^2 β = 1 - sin^2 β = 1 - (\frac{-12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$$

$$cos β = ±\frac{5}{13}$$

Так как cos β < 0, то cos β = -5/13.

Теперь найдем sin (α - β):

$$sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β = (\frac{3}{5}) \cdot (\frac{-5}{13}) - (\frac{-4}{5}) \cdot (\frac{-12}{13}) = \frac{-15}{65} - \frac{48}{65} = \frac{-63}{65}$$

Ответ: -63/65