490 Вычислить tg (α + β), если sin α = 4/5, π/2 < α < π, и cos β = 8/17, 3/2 π < β < 2π.

Дано: sin α = 4/5, π/2 < α < π, cos β = 8/17, 3π/2 < β < 2π.

Найти: tg (α + β)

Так как π/2 < α < π, α находится во второй четверти, где cos α < 0.

Так как 3π/2 < β < 2π, β находится в четвертой четверти, где sin β < 0.

Найдем cos α:

$$sin^2 α + cos^2 α = 1$$

$$cos^2 α = 1 - sin^2 α = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

$$cos α = ±\frac{3}{5}$$

Так как cos α < 0, то cos α = -3/5.

Найдем sin β:

$$sin^2 β + cos^2 β = 1$$

$$sin^2 β = 1 - cos^2 β = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}$$

$$sin β = ±\frac{15}{17}$$

Так как sin β < 0, то sin β = -15/17.

Теперь найдем tg α и tg β:

$$tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{-3}{5}} = -\frac{4}{3}$$

$$tg β = \frac{sin β}{cos β} = \frac{\frac{-15}{17}}{\frac{8}{17}} = -\frac{15}{8}$$

Теперь найдем tg (α + β):

$$tg(α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β} = \frac{-\frac{4}{3} - \frac{15}{8}}{1 - (-\frac{4}{3})(-\frac{15}{8})} = \frac{\frac{-32 - 45}{24}}{1 - \frac{60}{24}} = \frac{\frac{-77}{24}}{\frac{24 - 60}{24}} = \frac{-77}{-36} = \frac{77}{36}$$

Ответ: 77/36